Un nombre parfait est un nombre entier qui a la propriété d’être égal à la somme de ses diviseurs propres. Un diviseur propre d’un nombre entier est un diviseur qui est strictement inférieur au nombre lui-même.
Par exemple, le nombre 28 est un nombre parfait car ses diviseurs propres (1, 2, 4, 7 et 14) s’additionnent pour donner 28.
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
51 nombres parfaits connus
A l’heure où nous écrivons cet article, 51 nombres parfaits sont connus :
- 6
- 28
- 496
- 8 128
- 33 550 336
- 8 589 869 056
- 137 438 691 328
- 2 305 843 008 139 952 128
- 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
- …
Le plus grand possède 12 640 858 chiffres et est égal à 220 996 010. C’est le projet de calcul partagé GIMPS qui détient le record.
Nombre parfait : une histoire remontant à l’Antiquité
Les nombres parfaits ont été découverts par le mathématicien grec Pythagore dans l’Antiquité. Depuis, de nombreux autres nombres parfaits ont été découverts, tels que le nombre 6 (dont les diviseurs propres sont 1, 2 et 3) et le nombre 8128 (dont les diviseurs propres sont 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064).
En général, il est très difficile de trouver des nombres parfaits, car il faut vérifier chaque diviseur propre un par un pour s’assurer qu’ils s’additionnent bien pour donner le nombre entier considéré. Cependant, il existe une formule qui permet de déterminer rapidement si un nombre est parfait ou non. Cette formule est la suivante :
2p-1(2p – 1) où p est un nombre premier
En utilisant cette formule, on peut montrer que les nombres 6, 28, 496 et 8128 sont tous des nombres parfaits.
Les nombres parfaits ont été étudiés depuis l’Antiquité en raison de leur beauté mathématique et de leurs propriétés uniques. Ils ont également été utilisés dans de nombreuses applications pratiques, telles que la cryptographie et la théorie des nombres. En résumé, les nombres parfaits sont des nombres fascinants qui ont intrigué les mathématiciens pendant des siècles et qui continuent à fasciner les gens dans le monde entier.
Ce que l’on ne sait pas sur les nombres parfaits
Les conjectures sur les nombres parfaits sont nombreuses. Ces règles ont été vérifiées sur de nombreux exemples mais aucune démonstration n’assure qu’elles soient toujours vraies.
- Existe-t-il un nombre parfait impair ?
- Nous constatons que les nombres parfaits cités se terminent par 6 ou 28 : est-ce le cas pour tous ?
- Aucune preuve n’existe sur l’infinitude des nombres parfaits.
